Georg
Cantor (1845-1918) è importante soprattutto per aver attribuito alle entità
matematiche un’interpretazione interna alla logica formale, aprendo la strada
ai successivi tentativi di completa logicizzazione della matematica stessa. In
questa lettura il grande matematico tedesco presenta una definizione degli
insiemi, dei numeri cardinali e dell’equivalenza fra gli insiemi.
G. Cantor, Contribuzione al fondamento
della teoria degli insiemi transfiniti
Per “insieme” (Menge) noi intendiamo ogni riunione M in un tutto di determinati e ben distinti oggetti m dati dai nostri sensi o dal nostro pensiero (che son detti gli elementi di M). Ciò noi esprimiamo in segni con:
(1) M= {m}
La riunione in un solo di piú insiemi M, N; P, ..., che non hanno elementi comuni, è da noi rappresentata con
(2) (M, N, P, ...).
Gli elementi di questo insieme sono adunque gli elementi di M, di N, di P, ecc. presi insieme.
“Parte”
o “insieme parziale” d’un insieme M chiamiamo ogni altro insieme
M1, i
cui elementi sono ad un tempo elementi di M.
Se M2 è una parte di M1 ed M1
una parte di M, è anche M2 una parte di M.
Ad ogni insieme spetta una determinata “potenza” (Mächtigkeit), che noi chiamiamo anche il suo “numero cardinale”.
Potenza o numero cardinale di M chiamiamo quell’idea generale, che per mezzo della nostra attiva facoltà di pensare si deduce dall’insieme M, facendo astrazione dalla natura dei suoi diversi elementi e dall’ordine con cui vien dato. Il risultato di questo doppio atto di astrazione, il numero cardinale o la potenza di M, viene da noi indicato con
(3) M.
Siccome da ogni singolo elemento m, quando si fa astrazione dalla sua natura, nasce un’unità, cosí il numero cardinale M è esso stesso un determinato insieme costituito di pure unità, che ha esistenza come immagine intellettuale o proiezione nel nostro animo dell’insieme dato M.
Diciamo
equivalenti due insiemi M ed N e denotiamo ciò con
(4) M ~ N ovvero N ~ M,
quando è possibile con una legge metterli in una siffatta reciproca relazione, che ad ogni elemento di uno di essi corrisponda uno ed un solo elemento dell’altro. Ad ogni parte M1 di M corrisponde allora una determinata equivalente parte N1 di N ed inversamente.
Avendosi una tal legge per riferire tra loro due insiemi equivalenti, essa si può in varie maniere modificare (escluso il caso che ciascuno degli insiemi consti di un solo elemento). In particolare si può sempre fare in modo che ad un determinato elemento m0 di M corrisponda un elemento dato qualsiasi n0 di N. Infatti, se gli elementi m0 ed n0 già non si corrispondono nella legge iniziale, ma all’elemento m0 di M corrisponde l’elemento n1 di N, ed all’elemento n0 di N l’elemento m1 di M, basta assumere come legge modificata quella per cui diventano elementi corrispondenti dei due insiemi m0 ed n0, e cosí pure m1, ed n1, e per tutti gli altri elementi si conserva la primitiva legge; a questo modo si ottiene lo scopo voluto.
Ogni
insieme è equivalente a se stesso:
(5) M ~ M.
Se due
insiemi sono equivalenti ad un terzo, essi sono anche equivalenti tra loro:
(6) da M ~ P e N ~ P segue M~ N.
È di
fondamentale importanza questo che due insiemi M ed N hanno lo stesso numero
cardinale allora e solo allora quando essi sono equivalenti:
(7) da M ~ N segue M = N,
e
(8) da M = N segue M~ N.
La equivalenza degli insiemi è dunque il criterio necessario e sufficiente per l’eguaglianza dei loro numeri cardinali.
Grande Antologia Filosofica, Marzorati, Milano, 1978, vol. XXXI, pagg.
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