La
dimostrazione del cosiddetto “teorema di Pitagora” costituisce la proposizione
47 del primo libro degli Elementi di Euclide. L’attribuzione del teorema proprio a Pitagora era
dubbia anche nell’antichità. In ogni caso, la conoscenza intuitiva e
sperimentale del teorema si trova certamente nelle matematiche orientali
preelleniche. Originale, invece, è sicuramente la dimostrazione di Euclide,
basata sulla teoria dell’equivalenza.
Euclide, Elementi, I, 47
1 Nei triangoli rettangoli il quadrato
dell’angolo opposto all’angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati
che comprendono l’angolo retto.
2 Sia ABC un triangolo rettangolo avente
l’angolo BAC retto; dico che il quadrato di BC è uguale alla somma dei quadrati
di BA, AC.
3 Infatti, si descrivano il quadrato BDEC su
BC, e su BA, AC i quadrati GB, HC; per A si conduca AL parallela all’una o
all’altra indifferentemente delle rette BD, CE, e si traccino le congiungenti
AD, FC. Ora, poiché ciascuno dei due angoli BAC, BAG è retto, le due rette AC,
AG, che giacciono da parti opposte rispetto alla retta BA, formano, con essa e
con i vertici nel punto A, angoli adiacenti la cui somma è uguale a due retti;
quindi CA è in linea retta con AG. Per la stessa ragione pure BA è in linea
retta con AH. E poiché l’angolo DBC è uguale all’angolo FBA – difatti ciascuno
dei due è retto –, si aggiunga in comune ad essi l’angolo ABC; tutto quanto
l’angolo DBA è quindi uguale a tutto l’angolo FBC. Ora, poiché DB è uguale a BC
e FB a BA, i due lati DB, BA sono uguali rispettivamente ai due lati BC, FB; e
l’angolo DBA è uguale all’angolo FBC, per cui la base AD è uguale alla base FC,
e il triangolo ABD è uguale al triangolo FBC. Ma il parallelogrammo BL è il
doppio del triangolo ABD – essi hanno infatti la stessa base BD e sono compresi
fra le stesse parallele BD, AL –, mentre il quadrato GB è il doppio del
triangolo FBG: difatti essi hanno, di nuovo, la stessa base FB e sono compresi
fra le stesse rette parallele FB, GC; [ma doppi di cose uguali sono uguali fra
loro]; è quindi uguale anche il parallelogrammo BL al quadrato GB. Similmente,
tracciate le congiungenti AE, BK si potrà constatare, si potrà dimostrare che
il parallelogrammo CL è uguale al quadrato HC; tutto quanto il quadrato BDEC è perciò
uguale alla somma dei due quadrati GB, HC. E il quadrato BDEC è descritto su
BC, mentre i quadrati GB, HC sono descritti su BA, AC. Quindi il quadrato del
lato BC è uguale alla somma dei quadrati dei lati BA, AC.
4 Dunque, nei triangoli rettangoli il
quadrato dell’angolo opposto all’angolo retto è uguale alla somma dei quadrati
dei lati che comprendono l’angolo retto – C.D.D.
(Euclide, Gli elementi, UTET, Torino, 1970, pagg. 146-149)