Gödel, I limiti dei sistemi formali

Kurt Gödel (1906-1978), uno dei massimi esperti di logica formale,  č famoso soprattutto per la “prova di Gödel” la quale, come egli stesso riferisce in questa lettura, dimostra che tutti i sistemi formali, anche quelli della matematica (v. lettura di Hilbert), contengono proposizioni indecidibili.

 

K. Gödel, Appendice agli atti del Secondo convegno di epistemologia delle scienze esatte di Königsberg [1931]

 

Un sistema formale si dice completo se ogni proposizione esprimibile con i suoi simboli č formalmente decidibile a partire dagli assiomi, vale a dire se per ogni proporzione A di quel tipo esiste una catena deduttiva finita che si sviluppa secondo le regole del calcolo logico la quale comincia con certi assiomi e finisce o con la proposizione A o con la proposizione non-A. Un sistema S si dice completo rispetto a una certa classe K di proposizioni se per lo meno tutte le proposizioni di K sono decidibili a partire dagli assiomi S.

Ciň che viene mostrato nel lavoro citato č che non esiste alcun sistema con un numero finito di assiomi che sia completo anche soltanto rispetto alle proposizioni aritmetiche; dove per “proposizioni aritmetiche” devono intendersi quelle proposizioni in cui gli unici concetti che vi figurano sono, oltre a +, ., e = (addizione, moltiplicazione e identitŕ riferite a numeri naturali), i connettivi logici del calcolo proposizionale e i simboli per il quantificatore universale e per quello esistenziale, riferiti questi, peraltro, solo a variabili che variano sopra i numeri naturali (nelle proposizioni aritmetiche, quindi, non compaiono assolutamente variabili diverse da quelle per numeri naturali).

Persino in quei sistemi che hanno un numero infinito di assiomi esistono sempre proposizioni aritmetiche indecidibili, purché la “regola che determina gli assiomi” soddisfi a certe condizioni (molto generali).

Da quanto detto risulta in particolare che tutti i sistemi formali della matematica finora conosciuti – per esempio, quello dei Principia Mathematica (ivi compresi gli assiomi di riducibilitŕ, dell’infinito e di scelta) oppure quelli assiomatici per la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel e di von Neumann, o ancora i sistemi formali della scuola hilbertiana – contengono proposizioni aritmetiche indecidibili.

 

Grande Antologia Filosofica, Marzorati, Milano, 1978, vol. XXXI, pagg. 439-440