Gödel, Sul significato della prova di Gödel

Il significato e le conseguenze della “prova di Gödel” sono esposte dallo stesso autore in questa lettura. Dato un sistema chiuso comprendente alcuni assiomi e regole di deduzione, per quanto generali ed astratti essi siano esistono all’interno del loro logico sviluppo dei problemi non decidibili. In altri termini non esistono sistemi logici capaci di autogarantire se stessi completamente.

 

K. Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, trad. it. in E. Agazzi, Introduzione ai problemi dell’assiomatica, Vita e Pensiero, Milano, 1961, pag. 203

 

Lo sviluppo della matematica nella direzione di una maggiore esattezza ha notoriamente condotto a questo, che larghi settori di essa sono stati formalizzati, in modo che il procedimento dimostrativo può essere condotto secondo alcune poche regole meccaniche. I sistemi formali piú ampi attualmente approntati sono il sistema dei Principia Mathematica (PM) da un lato, il sistema assiomatico della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (perfezionato da J. V. Neumann) dall'altro. Questi due sistemi sono tanto vasti, che tutti i metodi dimostrativi oggi applicati nella matematica vengono in essi formalizzati, vale a dire ricondotti a pochi assiomi e regole di deduzione.

Si presenta quindi naturale la congettura che questi assiomi e queste regole di deduzione siano anche sufficienti per decidere tutte quelle questioni matematiche che in genere si possono esprimere formalmente nei rispettivi sistemi. Nel seguito di questo lavoro si mostra che ciò non accade, ma che esistono in entrambi i sistemi menzionati dei problemi, anche relativamente semplici, appartenenti alla teoria degli usuali numeri interi, che non sono decidibili sulla base degli assiomi. Questa circostanza non dipende già dalla particolare natura dei sistemi sopraddetti, ma vale per una classe molto ampia di sistemi formali, alla quale in particolare appartengono tutti quelli che derivano dai due predetti aggiungendo a essi un numero finito di assiomi, supposto che attraverso gli assiomi aggiunti non divenga dimostrabile alcuna falsa proposizione.

 

Novecento filosofico e scientifico, a cura di A. Negri, Marzorati, Milano, 1991, vol. II, pag. 816