BREVE STORIA DELLA LOGICA

A cura di Luca Valzesi

"Se solo si desse una lingua esatta o almeno un tipo di scrittura veramente filosofica, mediante la quale le nozioni venissero ricondotte ad una sorta di alfabeto dei pensieri umani, tutte le conclusioni derivanti dalle nozioni si scoprirebbero mediante un calcolo" (Leibniz).

Filosofia antica

Aristotele

Se si vogliono escludere le problematiche dell'assurdo matematico della scuola Pitagorica e quelle riguardanti il verbo essere messe in luce da Parmenide si può dire che la logica, intesa come lo studio del ragionamento corretto, entra in auge nella storia del pensiero con l'Organon di Aristotele, ovvero la raccolta di opere del filosofo di Megara che dovevano fungere da strumento per lo studio delle scienze.

Questa raccolta comprende:

Le Categorie: dove si tratta dell'organizzazione dell'esistente.

De interpretatione: che consiste in riflessioni sulla necessità e sul linguaggio.

Analitici Primi e Secondi: dove si discute della natura del sillogismo e altri problemi di logica

Topici: metodi di argomentazione utili nei dibattiti.

Confutazioni sofistiche: messa in discussione di argomentazioni mal costruite.

La logica di Aristotele si presenta come una classificazione del reale in quanto essere, ogni ente vanta un certo numero di proprietà e non ne possiede altre e ogni proprietà riguarda un certo numero di enti e non altri e proprio da questa constatazione logico-ontologica derivano le prime e più importanti leggi della logica Aristotelica:

PRINCIPIO D'IDENTITA': ogni cosa è se stessa e non è nient'altro.

PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE: non è possibile dichiarare di uno stesso soggetto un predicato e negarlo ovvero non posso dire che “A è B” e “A è non B”.

PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO: tra due dichiarazioni contraddittorie non esiste una terza possibilità ovvero una proposizione o è vera o è falsa.

Grazie a queste leggi la logica aristotelica ha tre saldi pilastri sopra i quali evolversi e dichiara la propria natura ovvero quella di logica formale. La logica di Aristotele infatti non riguarda i contenuti e non dichiara nessuna verità ma si limita e congelare i contenuti nella certezza e a fornire criteri di verità durante uno studio scientifico come in una dimostrazione.

La natura formale della logica di Aristotele si esprime al meglio proprio in quel tipo di ragionamento intorno al quale il filosofo impegna maggior parte delle proprie energie: il sillogismo.

Il sillogismo (sun-logos: ragionamento concatenato) è un ragionamento che si dispiega tra tre proposizioni: due premesse e una conclusione. Le due premesse si dividono in una maggiore e una minore: la prima contiene il predicato della conclusione e la seconda il soggetto e questi due si ritroveranno a comporre la conclusione grazie ad un termine medio che funge da collante logico.

I termini (soggetto-predicato-termine medio) si possono combinare in modi diversi tra loro all'interno del sillogismo andando a formare quattro diverse combinazioni chiamate figure:

I FIGURA	II FIGURA	III FIGURA	IV FIGURA
MP	PM	MP	PM
SM	SM	MS	MS
SP	SP	SP	SP

Di queste quattro figure in realtà solo le prime tre compaiono negli Analitici di Aristotele mentre la quarta combinazione si può aggiungere per completezza.

Ogni proposizione è composta quindi da due termini e per questo motivo sono diverse le combinazioni che si posso generare per comporre ogni frase; infatti ogni proposizione apodittica può essere:

AFFERMATIVA

NEGATIVA

PARTICOLARE

UNIVERSALE

Dal quadrato qui sopra si leggono facilmente tutti i rapporti logici che legano le diverse proposizioni. Si nota infatti che le proposizioni di tipo I (affermative particolari) rispetto a quelle di tipo A (affermative universali) sono subalterne (ovvero vere le prime se vere le seconde ma non necessariamente viceversa) come quelle di tipo E (particolari negative) rispetto a quelle di tipo O (universali negative).

Si legge poi che le I e le O sono subcontrarie cioè possono essere entrambe vere ma non entrambe false mentre la A rispetto alla O e la E rispetto alla I sono contraddittorie ovvero se una delle due è vera l’altra è necessariamente falsa.

Perché la subalternazione – ovvero la certezza logica che una proposizione universale vera implica la verità della corrispondente particolare – si possa applicare con tranquillità bisogna aggiungere un’ulteriore assioma detto “assioma di Aristotele” secondo il quale per ogni predicato P esiste almeno un individuo S che ne goda, ovvero non esistono termini vuoti. (Sul modo in cui si vengano a formare le proposizioni nel modello aristotelico tramite la deduzione e l’induzione e sul rapporto che nella sua filosofia sussiste tra il particolare e l’universale rimando alla scheda riguardante il sillogismo nella pagina dedicata ad Aristotele)

Riepilogando i diversi modi in cui proposizioni e ragionamenti si possono combinare tra loro ci si accorge in fretta che non sono pochi i tipi di sillogismo che si posso formare; abbiamo infatti quattro tipi diversi di espressione categorica (A,E,I,O) per ogni proposizione e abbiamo tre proposizioni per ogni figura e considerando che esistono in tutto quattro figure possibili ci si trova davanti a 256 tipi diversi di sillogismo. In realtà però la maggior parte di queste possibilità generano ragionamenti scorretti o contraddittori lasciando che restino solo 19 sillogismi validi più altri cinque che si posso ottenere per subalternazione.

I 19 sillogismi validi divisi secondo le rispettive figure sono i seguenti:

I Figura: AAA, AII, EAE, EIO

II Figura: AEE, AOO, EAE, EIO

III: AAI, AII, EAO, EIO, IAI, OAO

IV: AAI, AEE, IAI, EAO, EIO

Al fine di ricordare facilmente questi 19 sillogismi validi nel Medioevo venne ideata una filastrocca all’interno della quale le prime vocali dei termini riportavano l’ordine e la natura delle proposizione per ogni sillogismo valido per ogni figura:

Barbara celarent darii ferio baralipton
Celantes dabitis fapesmo frisesomorum;
Cesare campestres festino baroco; darapti
Felapton disamis datisi bocardo ferison

La scuola megarica e quella stoica

Come si è detto al principio la logica di Aristotele è una logica che si riferisce direttamente all'essere e che ne descrive le regole traducendone le forme di esistenza in termini logici; per questo la logica di Aristotele è definita anche formale o logica dei termini.

Con Eubulide di Mileto (IV sec. a.C.), esponente di spicco della scuola megarica, la logica acquista una forma diversa è non si trova più ad essere una logica dei termini ma una logica dei nessi e non occupa più solamente della forma ma anche dei contenuti.

Eubulide personalmente è passato alla storia per il suo celebre paradosso del mentitore che dimostra la contraddizione insita nell'affermazione “Io mento”, infatti se mento dico la verità e se dico la verità mento: la contraddizione è inevitabile.

I successori megarici di Eubulide si concentrarono molto sulle verità delle proposizioni in base ai loro contenuti e ai loro nessi, il primo da ricordare in questo senso è Diodoro Crono che arrivò alla conclusione che una proposizione costruita secondo lo lo schema “se...allora” è vera se e solo se data per vera la prima parte non risulti falsa.

In questo senso anche la frase “Se la terra vola allora la terra esiste” sarebbe vera poiché nonostante la premessa falsa arriva ad una conclusione vera e sarebbe vera anche l'affermazione “Se la terra vola allora la terra ha le ali” in quanto data una premessa falsa si ha una conclusione falsa; di conseguenza l'unico modello valido di proposizione falsa nella logica di Diodoro sarebbe “Se è giorno allora è notte” poiché si parte da una verità per finire con una falsità.

Successore di Diodoro nella scuola megarica fu Filone di Megara che riconobbe come errato il modello logico del predecessore è ne propose uno dal funzionamento più prettamente matematico. Filone infatti sosteneva che la proposizione “se p allora q” è sempre vera meno che data la verifica della premessa non si abbia un controesempio della veridicità della conseguenza.

Questa tradizione logica sviluppatasi all'interno della scuola di Megara fu proseguita dallo storico fondatore della scuola stoica Crisippo.

Lo studio da parte degli stoici dei nessi tra le proposizioni portò allo coscienza della necessità di attribuire ad ogni proposizione uno solo dei valori di verità senza alcun genere di dubbio o eccezione e questa necessità fece nascere all'interno nella filosofia stoica i cinque indimostrabili che, a partire dalla verità dei nessi e dalla loro funzione nelle proposizioni costruisce uno schema preciso di verità logiche applicando per la prima volta nel pensiero (anche se in maniera basilare) i concetti di congiunzione e disgiunzione che verranno trattati più avanti.

I cinque indimostrabili sono:

Se p allora q; ma p; dunque q.

Se p allora q; ma non q; dunque non p.

Non (p e q); ma p; dunque non q.

O solo p o solo q; ma p; dunque non q.

O solo p o solo q; ma non p; dunque q.

Tra la fine del mondo antico e l'inizio del medioevo non sono ancora molti gli eventi da segnalare riguardo la storia della logica. Sicuramente importante è la stesura da parte di Porfirio dell'Isagoge, ovvero un'introduzione alle Categorie di Aristotele e nemmeno si può trascurare la teoria dei sillogismi relazionali di Galeno (P=2Q, Q=2C, P=4C). A parte questo si può dire che fino all'XI secolo riguardo la storia della logica si assiste ad un periodo di immobilità.

Filosofia medievale

Nel primo medioevo il tema che maggiormente impegna i pensatori intorno alla logica è il problema dello stato ontologico dei generi e delle specie ovvero la questione degli universali. Si vengono a costituire due fondamentali linee di pensiero a riguardo:

Linea nominalista: gli universali non sono altro che flatus vocis e non corrispondo in nessun modo alla realtà (tesi fortemente propugnata da Roscellino che fu costretto ad abiurare essendo questa sua dottrina in contraddizione con il dogma cristiano della trinità).

Linea realista: la realtà nel suo grado più alto di verità corrisponde proprio agli universali mentre i singoli individui non sono alto che accidenti (tesi propugnata da Anselmo d'Aosta).

Solo nel XII secolo si riscopre l'Organon di Aristotele e Abelardo riesce a costruire una nuova teoria degli universali ispirandosi alle tesi aristoteliche e proponendo una soluzione secondo la quale essi consistono in immagini degli individui stampate nella nostra mente e poi sbiadite.

Nel XIII secolo invece la logica trova il proprio apogeo all'interno dell'epoca medievale e diventa materia fondamentale all'interno delle università affiancata da grammatica e retorica e proponendosi come studio approfondito della natura dei termini e dei loro rapporti. Si viene a formare il concetto di significazione grazie al quale si può dividere tra termini categorematici (cioè significanti già di loro come i soggetti e i predicati) e sincategorematici (cioè termini che significano solo se accompagnati da termini categorematici, ad esempio le congiunzioni o gli avverbi); si vieni inoltre a formare una dottrina delle consequentiae distinte tra complete o incomplete di premesse e quindi perfette o imperfette.

Inoltre nello stesso periodo si vengono a formare tesi celebri per la storia della logica come l'ex falso sequitur quodlibet - ovvero il teorema forse ideato da Duns Scoto secondo il quale da un enunciato contraddittorio può seguire qualsiasi enunciato – e anche la tesi della contrapposizione secondo la quale data la consequenzialità di due proposizioni vere è anche vera la consequenzialità delle stesse proposizioni false in ordine invertito ( Se A allora B e quindi se non B allora non A).

Sempre nel XIII secolo nelle scuole si assiste a vere e proprie battaglie combattute sul terreno logico e ci impegna anche nella soluzione di paradossi insolubili come quello del mentitore arrivando a soluzioni che suonano molto simili a disquisizioni intorno al linguaggio che ritroveremo solo nel '900.

Un ultimo elemento che non si può non citare in questo breve riepilogo della storia della logica medievale è la differenziazione che si viene a formare tra i concetti come necessità e contingenza “de dicto” e “de re”. La prima riguarda la necessità (o la contingenza) della correttezza di una proposizione come nell'enunciato “necessariamente ogni individuo P della classe C gode dell'attributo A”; mentre la seconda riguarda la necessità (o la contingenza) della correttezza di un enunciato intorno ad un individuo specifico e alla sua natura al di là della coerenza logica come nella frase “nella classe C l'individuo P necessariamente gode della proprietà P”.

Questo genere di problematiche accompagneranno la filosofia e la logica fino alla fine del XIV secolo.

Filosofia moderna

Dal '400 al '700

Tra il XV e il XVI secolo si comincia a leggere Aristotele in lingua originale ma vengono anche ampiamente considerati gli Elementi di Euclide e a questo panorama bisogna aggiungere la comparsa dei primi teorici del metodo scientifico nonché la nascita dell'algebra (per ora indipendente dalla logica). Tra i pensatori di questo periodo uno più grandi contributi alla logica è stato sicuramente quello di Pierre de la Ramée per i suoi tentativi, tramite la letture di Aristotele di comporre una nuova arte del ragionamento basata sul parallelismo tra ragionamento e linguaggio.

Nel XVII secolo invece, come è noto, in Europa la tendenza diventa quella di allontanarsi da Aristotele e dalla filosofia scolastica e così la logica formale sparisce davanti alle teorie dell'intuizione di Descartes e della concordanza di Locke; in questi anni il sillogismo come tutte le altre pratiche della logica scolastica appare come un meccanismo utile solo a rallentare e confondere il naturale procedere dell'intelletto di idea in idea dalle più chiare e distinte fino alle più complesse.

La netta separazione dal modello aristotelico permette anche a Francis Bacon di proporre il suo celebre modello di logica induttiva che tramite la distruzione di ogni preconcetto o elemento di disturbo prevedeva la costruzione di tavole di presenza, assenza e gradi per tutte le proprietà di ogni ente da verificarsi con esperimenti, diventando così uno dei fondatori di quello che ancora oggi viene considerato il metodo scientifico.

Nella seconda meta del '600 la filosofia europea ma soprattuto quella francese si concentra sull'arte di ben condurre il ragionamento partendo dall'idea cartesiana di intuizione e cercando di farla collimare con l'esigenza di ordine e coerenza che lo studio del ragionamento ben condotto aveva richiesto fino a pochi decenni prima. Si arriva così a costruire una vera e propria teoria delle operazioni mentali che, se eseguite con metodo e ordine, portano alla formazione di ragionamenti corretti; celebre in questo senso è la “Logique, ou l'art de penser” di Nicole e Arnauld di Port-Royal.

Sulla scia dello studio dei funzionamenti dei meccanismi mentali si colloca Hobbes che ipotizzando la corrispondenza tra la manipolazione nel calcolo matematico e i processi di pensiero “diede il la” per la teorizzazione dell' “ars combinatoria” che molto impegnò Gottfried Leibniz.

Il progetto di Leibniz consisteva nella riduzione di tutti i concetti ad un pugno di concetti essenziali (come accade nei problemi geometrici) che, una volta trasformati in simboli, portava con se delle verità se dalla loro combinazione si otteneva un risultato coerente. In poche parole Leibniz fu uno dei primi a teorizzare la possibilità di assimilare l'algebra alla logica (sulla scia di Aristotele, Lullo e Hobbes) trasformando ogni enunciato il una variabile e ogni legame logico ad un simbolo operatore e trasformando nei fatti ogni ragionamento in un calcolo.

Nel '700 il discorso della logica formale introdotto da Leibniz fu portato avanti da molti pensatori e in particolare occorre ricordare gli sforzi di Wolff nel sostenere la la collimazione tra matematica e logica e quelli di Lambert e Ploucquet nella fondazione della pratica della quantificazione del predicato.

Kant

A Immanuel Kant si deve invece una nuova divisione della logica in due generi diversi.

Kant infatti da una parte mette la logica generale: ovvero, come si è già visto in un modo o nell'altro fino ad ora, lo studio formale della conoscenza e, più in generale, delle leggi del pensiero e dei rapporti tra le conoscenze private dei contenuti.

Dall'altra parte Kant posiziona invece la Logica trascendentale. Questa nuova versione della logica consiste nello studio di tutti i meccanismi tramite i quali l'intelletto riesce a unificare e ordinare il molteplice (caratteristica essenziale del mondo delle rappresentazioni) rendendo possibile la conoscenza.

Seguendo il percorso calcato dal filosofo tanto nella Critica della Ragion Pura quanto nella sue lezioni si può partire dalla logica generale per scoprire la necessità di una logica trascendentale; infatti alla base della logica (ritornando all'Organon aristotelico) troviamo sempre proposizioni all'interno delle quali lo schema è sempre fisso ovvero “SèP”. In poche parole quale che sia il percorso seguito da una dimostrazione logica non si può fare a meno di quelli che nel linguaggio kantiano sono sempre definiti giudizi.

Come si è potuto vedere nel quadrato aristotelico i giudizi posso essere diversi per quantità e qualità, differenze grazie alle quali si vengono poi a formare le varie combinazioni possibili.

Nel modello kantiano lo schema si mantiene simile e i suoi giudizi sono divisi non solo per quantità e qualità ma, come è noto, anche per relazione e modalità. Si viene così facilmente a costruire una tavola dei giudizi:

Quantità	Qualità	Relazione	Modalità
Universale	Affermativi	Categorici	Problematici
Particolare	Negativi	Ipotetici	Assertori
Singolare	Infiniti	Disgiuntivi	Apodittici

In questa tavola, parafrasando Kant, troviamo tutte le combinazioni possibili di tutte le funzioni logiche di cui l'intelletto è capace; l'intelletto, quindi, classifica le proprie rappresentazione in base a questi giudizi, solo e solamente a questi.

Se è vero però che l'intelletto può conoscere solo se classifica secondo questi criteri significa che la classificazione stessa secondo questo schema diventa la condizione di esistenza della conoscenza e, se è vero che la tabella precedente esaurisce l'insieme di tutte le funzioni logiche possibili, significa che conterrà dentro di se anche l'insieme di tutte le funzioni dell'intelletto e quindi di tutto il suo potere. Queste funzioni diventano quindi le celebri categorie kantiane intorno alle quali si concentra tutto lo studio che nella Critica della Ragion Pura prende il nome di Logica trascendentale, ovvero lo studio delle condizioni di possibilità della conoscenza e dei meccanismi del loro funzionamento.

La tavole delle categorie si presenta così:

Quantità	Qualità	Relazione	Modalità
Unità	Affermazione	Inerenza-Sussistenza	Possibilità-Impossibilita.
Molteplicità	Negazione	Causalità-Dipendenza	Esistenza-Non esistenza
Totalità	Limitazione	Azione reciproca	Necessità-Contingenza

Ovviamente esaurire, anche solo in senso accademico, l'argomento della Logica trascendentale richiederebbe una lunga e impegnativa digressione, ma avendo questo scritto solo le pretese di una breve storia della logica si conclude qui l'argomento, utile quindi solo a sottolineare il ruolo giocato da filosofo di Königsberg nella storia dello studio del ragionamento, e si procede con gli importanti esponenti del pensiero logico.

Filosofia contemporanea

L' 800

Nella prima metà del XIX secolo l'Inghilterra pensa sulla scia della sua tradizione empirista e il più importante esponente di questa corrente è J.S. Mill. Con Mill la logica trova come proprio scopo quello di giustificare all'interno di ogni ragionamento scientifico il movimento induttivo delle inferenze; in poche parole, con Mill, la logica ha il compito di dare garanzia del corretto passaggio da una qualsivoglia constatazione particolare alla sua generalizzazione.

È però con R. Whately che la logica formale riscopre la sua natura deduttiva e questo ritorno si può individuare come l'origine del pensiero logico inglese dell'Ottocento.

Fu proprio la lettura di Whately che spinse W. Hamilton a interessarsi alla logica e fu proprio Hamilton a teorizzare in maniera funzionante la quantificazione del predicato (che trova i suoi primi teorici nella filosofia seicentesca). La quantificazione del predicato consente, in poche parole, di trasformare ogni proposizione in un'equazione e di trasformare in questo modo ogni ragionamento in un calcolo. In parallelo con gli studi di Hamilton si dispiegò anche il pensiero di A. De Morgan che si dedicò ampiamente allo studio del sillogismo ripresentandolo in simbologia matematica, ovvero utilizzando X e x per descrive un concetto e il suo opposto. Sempre De Morgan fu autore di una celebre serie di leggi riguardanti la congiunzione e le disgiunzione:

(Il simbolo - significa negazione mentre ^ sta per la congiunzione (“e”) mentre v significa disgiunzione (“o”).)

-(A^B)= -Av-B

- (AvB)= - A^-B

Boole

G. Boole all'inizio degli studi che lo portarono ad essere uno dei nomi più importanti della storia della logica si interessava solo di matematica e si impegnava a terminare la rivoluzione algebrica che si stava compiendo in quegli anni. In seguito però questa stessa rivoluzione portò i suoi teorici a eliminare dall'algebra i suoi componenti numerici al fine di chiarirne le vere potenzialità.

Fu questa tendenza che portò Boole (sulla scia del pensiero filosofico del XVII secolo) ad elaborare ed essere considerato il padre dell'algebra della logica.

All'inizio dei proprio studi di questa materia Boole attribuì al simbolo “x” il ruolo di un operatore che, all'interno di una certa quantità di elementi, selezioni quelli che rispondo ad un certo attributo; in poche parole l'espressione “xy” opera nel senso che seleziona dagli elementi rispondenti alla “qualità y” quelli aventi anche la “qualità x”.

A questa primo genere di operazioni Boole riconobbe la proprietà commutativa e la constatazione che ripetere una selezione non cambia nulla (xx=x).

Negli studi successivi attribuì al nulla e all'infinito e simboli 0 e 1 e negò la possibilità di operare la divisione algebrica in questo genere di operazioni; infatti se si potesse dire che xy=zy equivale a x=z sarebbe come dire che se tutte le stelle che esplodono sono stelle che nascono allora tutte le cose che esplodono sono cose che nascono.

Boole trovò comunque un modo di inserire un'operazione logica simile alle divisione ovvero che la proposizione x=zy equivale all'espressione x/z=y; il significato di questa operazione è il seguente: sostenere che “classe dei mammiferi corrisponde a (=) l'insieme degli individui aventi la caratteristica di allattare i cuccioli all'interno della classe animale” equivale a dire che “Eliminando dai mammiferi la caratteristica di allattare (/) ottengo la classe degli animali”.

Continuando a muoversi nella simbologia algebrica di Boole si rende conto che l'equazione x=xy equivale all'espressione “Tutti gli X sono Y” infatti è come se si stesa dicendo: “La classe degli uomini è uguale alla classe di tutti gli uomini all'interno delle classe degli esseri mortali” ovvero: “Tutti gli uomini sono mortali”.

Al contrario se voglio dire in linguaggio algebrico che “Nessun X appartiene a Y” dovrò dire che xy=0 dove (come si è detto sopra) per 0 si intende il nulla; sarebbe infatti come dire: “Gli individui immortali all'interno della classe degli uomini corrisponde al nulla” ovvero: “Nessun uomo è immortale”.

In seguito Boole introduce i simboli “v” e “w” con i quali intende l'appartenenza di almeno un individuo con una certa qualità ad una certa classe. In poche parole il nesso “vy” significa “uno o più membri della classe Y” e permette la stesura di una formula per ognuna della quattro possibili proposizioni che erano state individuate da Aristotele.

Quello che segue è lo schema di corrispondenza tra lo schema aristotelico e quelli algebrici proposti da Boole.

A	Universale Affermativa (Tutti gli X sono Y)	x=vy	La classe degli elementi x è per intero una parte degli elementi della classe y.
E	Universale Negativa (Nessun X è Y)	x=(1-y)	La classe degli elementi x è uguale alla classe infinita meno gli elementi y, è quindi uguale a tutto ciò che è non-y.
I	Particolare Affermativa (Alcuni X sono Y)	vx=wy	Una parte degli elementi con caratteristiche x sono uguali (corrispondono) ad alcuni elementi con caratteristica y.
O	Particolare negativa (Alcuni X non sono Y)	vx=w(1-y)	Una parte degli elementi con caratteristiche x sono uguali (corrispondono) alla classe infinita meno gli elementi y, è quindi uguale a tutto ciò che è non-y.
A	Universale Affermativa (Tutti gli X sono Y)	x(1-y)=0	Non esistono elementi con caratteristiche x facenti parte della classe infinita meno gli elementi y, e quindi uguale a tutto ciò che è non-y.
E	Universale Negativa (Nessun X è Y)	xy=0	Non esistono elementi con caratteristica x presenti anche nella classe degli elementi con caratteristica y.
I	Particolare Affermativa (Alcuni X sono Y)	xy=v	Uno o più elementi (ma non tutti) con caratteristica x fanno parte della classe degli individui con caratteristica y.
O	Particolare negativa (Alcuni X non sono Y)	x(1-y)=v	Uno o più elementi (ma non tutti) con caratteristica x fanno parte della classe infinita meno gli elementi y, e quindi uguale a tutto ciò che è non-y.

In un secondo momento Boole cambiò il significato di alcuni simboli per teorizzare un nuovo sistema algebrico grazie al quale si potevano calcolare ed esprimere facilmente anche i rapporti di congiunzione e disgiunzione tra i vari enunciati; attribuendo infatti all'1 il significato di “vero” e a 0 il significato di “falso” e dicendo di conseguenza (per il principio di non contraddizione e per quello del terzo escluso) che ogni variabile (x,y,z,ecc..) può assumere solo valore di 1 o di 0 si giunge alle seguenti conclusioni:

xy=1 significa che entrambi gli enunciati saranno veri (CONGIUNZIONE) (poiché se uno dei due fosse 0 – cioè falso – il prodotto non potrebbe fare 1)

x+y=1 significa che uno dei due sarà vero e l'altro falso (DISGIUNZIONE) (poiché se fossero entrambi veri o entrambi falsi non potrei ottenere come risultato 1)

x(1-y)=0 significa che se è vera x deve esserlo anche y (infatti posto il valore 1 per entrambe le incognite di ottiene 0; e infatti risulta che (1-y) è falsa essendo y vera)

Molti furono poi i contributi, le critiche e le correzioni che seguirono la scoperta da parte di Boole di questo metodo, sia riguardo la simbologia che riguardo i rapporti logico-matematici.

Cantor

Georg Cantor fu indubbiamente uno dei più importanti teorici della matematica del XIX secolo e le sue scoperte nel campo della teoria degli insiemi e della natura dei numeri furono fondamentali per lo sviluppo di numerosissime pratiche, non ultima, la logica.

Le più importanti scoperte di Cantor, sulle quali ci si soffermerà qui in maniera comunque superficiale, sono sicuramente quelle che rispondo al nome di:

NUMERI TRANSFINITI

NUMERI ORDINALI

NUMERI CARDINALI

I numeri transfiniti furono le strumento fondamentale tramite il quale Cantor cominciò la sua ricerca, in principio motivata dalla necessità di trovare un senso preciso al concetto di infinito perché non venisse più considerato un assurdo non calcolabile (come insegna la filosofia aristotelica). In poche parole i numeri transfiniti sono serie di numeri astratti concettualmente dai loro insiemi, ad esempio prendendo l'insieme [6,7,8,9] e astraendone il numero “4” inteso come numero degli elementi (cardinalità) o astraendone il numero “2” come numero corrispondente alla posizione del numero “7” (ordinalità).

In seguito Cantor prese in considerazione il concetto da lui scoperto di numero cardinale (numero degli elementi di un insieme) e capì che il numero cardinale corrispondente all'insieme dei numeri naturali era infinito e trovò quindi la prima cardinalità infinità cui diede il nome aleph-zero.

Il simbolo di aleph-zero (prima lettera dell'alfabeto ebraico) è .

Una volta introdotto questo concetto Cantor l' accostò a quello dell'ordinale infinito (che ovviamente si trova sempre prendendo in considerazione l'insieme di tutti i numeri naturali). Viene da sé che il cardinale corrispondente all'insieme all'interno del quale si trova l'ordinale infinito sarà ancora aleph-zero.

Chiamiamo la sequenza degli ordinali transfiniti ω che sarà quindi tale che:

ω:={0,1,2,3,...} dove l'ordine è evidentemente (1<2<3<4<5...)

Sommando 1 a questo insieme otterremo:

ω+1:={0,1,2,3,...,ω}

Saremo quindi davanti ad un ordinale diverso (cioè davanti all'ordine: 1<2<3<4<5.....<ω) e come questo ne potremo costruire di infiniti aggiungendo 2 poi 3 fino a n.

Sappiamo però che tutti questi ordinali diversi tra loro avranno la stessa cardinalità aleph-zero. Prendendo però ora in considerazione l'insieme di tutti gli insiemi a cardinalità aleph-zero non potremo di nuovo avere la stessa cardinalità e Cantor riuscì a dimostrare che in effetti si tratta della cardinalità subito successiva. Da questo consegue che si possono ipotizzare infinite serie di cardinali.